Názorná představa množiny¹

Slovo množina užíváme v matematice v témž významu, v jakém používáme v hovorovém jazyku slov soubor, souhrn, skupina atd. O věcech, z nichž se množina skládá, říkáme, že jsou prvky této množiny.

Několik příkladů:

a) Množina všech občanů v České republice; tato množina má několik miliónů prvků.

b) Množina skládající se z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; jejími prvky jsou tyto číslice a nic jiného.

c) Množina všech přirozených čísel; jejím prvkem je kterékoli přirozené číslo a nic jiného. Tato množina má nekonečně mnoho prvků.

d) Množina všech řešení rovnice 2x² + x - 6 = 0; prvky této množiny jsou čísla , -2 a nic jiného.

e) Množina všech sudých prvočísel; tato množina se skládá z jediného prvku, totiž čísla 2.

f) Množina všech kladných celých řešení rovnice x² + 3x + 2 = 0. Tato množina nemá vůbec žádný prvek. Daná rovnice má totiž kořeny -1 a -2; žádný z nich však není kladný.

Z ukázek je vidět, že některé množiny se skládají z jednoho jediného prvku, nebo dokonce nemají vůbec žádné prvky.

"Množina, která nemá žádné prvky, se nazývá prázdná a označuje se ∅. Každá množina, která není prázdná, se nazývá neprázdná. Každá neprázdná množina obsahuje tedy alespoň jeden prvek.

Kdybychom nezavedli pojem prázdné množiny, museli bychom slovo ‚množina‘ užívat velice opatrně: často totiž mluvíme o množině nějakých věcí vyhovujících určité podmínce a přitom vůbec nevíme, zda nějaká taková věc existuje. Kdybychom nezavedli pojem prázdné množiny, mohli bychom mluvit například o množině všech prvočísel větších než 1000 a menších než 1010 (ta není prázdná a má jediný prvek 1009); kdybychom však chtěli hovořit o množině všech prvočísel větších než 1 000 000 a menších než 1 000 010, museli bychom nejprve pracně vyšetřovat, zda aspoň jedno takové prvočíslo existuje."²